代数结构

定义

• 设$S$是个非空集合且$f_i$是$S$上的$n_i$元运算，其中$i = 1, 2, \cdots , m$，由$S$及$f_1, f_2, \cdots , f_m$组成的结构，称为代数结构，记作$\langle S, f_1, f_2, \cdots, f_m \rangle$
• 设两个代数结构$\langle S, f_1, f_2, \cdots, f_m \rangle$和$\langle T, g_1, g_2, \cdots, g_m \rangle$，如果$f_i$和$g_i(1 \leq i \leq m)$具有相同的元数，则称这两个代数结构是同类型的
• 设$\langle S, f_1, f_2, \cdots, f_m \rangle$是一代数结构，且非空集$T \subseteq S$在运算$f_1, f_2, \cdots, f_m$作用下是封闭的，且$T$通常含有与$S$中相同的特异元，则称$\langle T, f_1, f_2, \cdots, f_m \rangle$为代数结构$\langle S, f_1, f_2, \cdots, f_m \rangle$的子代数，记为$\langle T, f_1, f_2, \cdots, f_m \rangle \subseteq \langle S, f_1, f_2, \cdots, f_m \rangle$

基本性质

• 结合律：给定$\langle S, \odot \rangle$，运算$\odot$满足结合律$:= (\forall x)(\forall y)(\forall z)(x, y, z \in S \rightarrow (x \odot y) \odot z = x \odot (y \odot z))$
• 交换律：给定$\langle S, \odot \rangle$，运算$\odot$满足交换律$:= (\forall x)(\forall y)(x, y \in S \rightarrow x \odot y = y \odot x)$
• 分配律：给定$\langle S, \odot, \circledast \rangle$
• 运算$\odot$对于$\circledast$满足左分配律$:=(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x, y, z \in S \rightarrow x \odot (y \circledast z) = (x \odot y) \circledast (x \odot z))$
• 运算$\odot$对于$\circledast$满足右分配律$:=(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x, y, z \in S \rightarrow (y \circledast z) \odot x = (y \odot x) \circledast (z \odot x))$
• 若$\odot$对于$\circledast$既满足左分配律又满足右分配律，则称$\odot$对于$\circledast$满足分配律
• 给定$\langle S, \odot, \circledast \rangle$且$\odot$是可交换的，如果$\odot$对于$\circledast$满足左或右分配律，则$\odot$对于$\circledast$满足分配律
• 吸收律：给定$\langle S, \odot, \circledast \rangle$
• 运算$\odot$对于$\circledast$满足左吸收律$:=(\forall x)(\forall y)(x, y \in S \rightarrow x \odot (x \circledast y) = x)$
• 运算$\odot$对于$\circledast$满足右吸收律$:=(\forall x)(\forall y)(x, y \in S \rightarrow (x \circledast y) \odot x = x)$
• 若$\odot$对于$\circledast$既满足左吸收律又满足右吸收律，则称$\odot$对于$\circledast$满足吸收律
• 等幂律：给定$\langle S, \odot \rangle$，则$\odot$满足等幂律$:=(\forall x)(x \in S \rightarrow x \odot x = x)$
• 等幂元：给定$\langle S, \odot \rangle$且$x \in S$，则$x$是关于$\odot$的等幂元$:= x \odot x = x$
• 若$x$是$\langle S, \odot \rangle$中关于$\odot$的等幂元，对于任意正整数$n$，则$x^n=x$
• 幺元：给定$\langle S, \odot \rangle$且$e_l, e_r, e \in S$
• $e_l$为关于$\odot$的左幺元$:= (\forall x)(x \in S \rightarrow e_l \odot x = x)$
• $e_r$为关于$\odot$的右幺元$:= (\forall x)(x \in S \rightarrow x \odot e_r = x)$
• 若$e$既为$\odot$的左幺元又为$\odot$的右幺元，称$e$为关于$\odot$的幺元
• 给定$\langle S, \odot \rangle$且$e_l$和$e_r$分别关于$\odot$的左右幺元，则$e_l=e_r=e$且幺元$e$唯一
• 零元：给定$\langle S, \odot \rangle$且$\theta_l, \theta_r, \theta \in S$
• $\theta_l$为关于$\odot$的左零元$:= (\forall x)(x \in S \rightarrow \theta_l \odot x = \theta_l)$
• $\theta_r$为关于$\odot$的右零元$:= (\forall x)(x \in S \rightarrow x \odot \theta_r = \theta_r)$
• 若$\theta$既为$\odot$的左零元又为$\odot$的右零元，称$\theta$为关于$\odot$的零元
• 给定$\langle S, \odot \rangle$且$\theta_l$和$\theta_r$分别关于$\odot$的左右零元，则$\theta_l=\theta_r=e$且零元$\theta$唯一
• 逆元：给定$\langle S, \odot \rangle$且幺元$e, x \in S$
• $x$为关于$\odot$的左逆元$:= (\exists y)(y \in S \land x \odot y = e)$
• $x$为关于$\odot$的右逆元$:= (\exists y)(y \in S \land y \odot x = e)$
• $x$为关于$\odot$可逆的$:= (\exists y)(y \in S \land x \odot y = y \odot x = e)$
• 给定$\langle S, \odot \rangle$及幺元$e \in S$，如果$\odot$是可结合的并且一个元素$x$的左逆元$x_l^{-1}$和右逆元$x_r^{-1}$存在，则$x_l^{-1}=x_r^{-1}$
• 给定$\langle S, \odot \rangle$及幺元$e \in S$，如果$\odot$是可结合的并且一个元素$x$的逆元$x^{-1}$存在，则$x^{-1}$是唯一的
• 可约律：给定$\langle S, \odot \rangle$且零元$\theta \in S$
• $\odot$满足左可约律$:=(\forall x)(\forall y)(\forall z)((x, y, z \in S \land x \neq \theta \land x \odot y = x \odot z) \rightarrow y=z)$，并称$x$是关于$\odot$的左可约元
• $\odot$满足右可约律$:=(\forall x)(\forall y)(\forall z)((x, y, z \in S \land x \neq \theta \land y \odot x = z \odot x) \rightarrow y=z)$，并称$x$是关于$\odot$的右可约元
• 给定$\langle S, \circledast \rangle$且$\circledast$是可结合的，如果$x$是关于$\circledast$可逆的，则$x$也是关于$\circledast$的可约元

同态与同构

• 设$\langle X, \odot \rangle$与$\langle Y, \circledast \rangle$是同类型的，称$\langle X, \odot \rangle$同态于$\langle Y, \circledast \rangle$，记为$\langle X, \odot \rangle \simeq \langle Y, \circledast \rangle$，其定义如下

$$ \langle X, \odot \rangle \simeq \langle Y, \circledast \rangle := (\exists f)(f \in Y^X \land (\forall x_1)(\forall x_2)(x_1, x_2 \in X \rightarrow f(x_1 \odot x_2) = f(x_1) \circledast f(x_2))) $$

• 如果$\langle X, \odot \rangle \simeq \langle Y, \circledast \rangle$且$f$为其同态映射，则$\langle rn(f), \circledast \rangle \subseteq \langle Y, \circledast \rangle$

• 设$\langle X, \odot \rangle \simeq \langle Y, \circledast \rangle$且$f$为其同态映射

• 如果$f$为满射，则称为满同态映射

• 如果$f$为单射，则称为单一同态映射

• 如果$f$为双射，则称为同构映射

• 满同态映射可以保持结合律、交换律、分配律、吸收率、等幂律、幺元、零元、逆元

• 设$\langle X, \odot \rangle$与$\langle Y, \circledast \rangle$是同类型的，称$\langle X, \odot \rangle$同构于$\langle Y, \circledast \rangle$，记为$\langle X, \odot \rangle \cong \langle Y, \circledast \rangle$，其定义如下

$$ \langle X, \odot \rangle \cong \langle Y, \circledast \rangle := (\exists f)(f为从\langle X, \odot \rangle到\langle Y, \circledast \rangle的同构映射) $$

• 代数系统间的同构关系是等价关系

同余关系

• 给定$\langle S, \odot \rangle$且$E$为$S$中的等价关系
• $E$有代换性质$:=(\forall x_1)(\forall x_2)(\forall y_1)(\forall y_2)((x_1, x_2, y_1, y_2 \in S \land x_1Ex_2 \land y_1Ey_2) \rightarrow (x_1 \odot y_1)E(x_2 \odot y_2))$
• $E$为$\langle S, \odot \rangle$中的同余关系$:= E$有代换性质
• 设$\langle S, \odot \rangle$与$\langle T, \circledast \rangle$是同类型的且$f$为其同态映射，对应于$f$，定义关系$E_f$如下

$$ xE_fy := f(x) = f(y), 其中x, y \in S $$

• 则$E_f$是$\langle S, \odot \rangle$中的同余关系，并且称$E_f$为同态映射$f$诱导的同余关系

半群与群

半群和独异点

• 给定$\langle S, \odot \rangle$，若$\odot$满足结合律，则称$\langle S, \odot \rangle$为半群
• 给定$\langle M, \odot \rangle$，若$\langle M, \odot \rangle$是半群且$\odot$有幺元，则称$\langle M, \odot \rangle$为独异点
• $\langle S, \odot \rangle$为有限半群$\Leftrightarrow(\exists x)(x \in S \land x \odot x = x)$
• 给定半群$\langle S, \odot \rangle$，若$\odot$是可交换的，则称$\langle S, \odot \rangle$为可交换半群，类似定义可交换独异点$\langle M, \odot, e \rangle$
• 给定半群$\langle S, \odot \rangle$和$g \in S$，以及自然数集合$N$，$g$为$\langle S, \odot \rangle$生成元$:=(\forall x)(x \in S \rightarrow (n \in N \land x = g^n))$，元素$g$生成半群$\langle S, \odot \rangle$，而且称该半群为循环半群，类似定义独异点$\langle M, \odot, e \rangle$的生成元$g$和循环独异点，并且规定$g^0=e$
• 每个循环独异点都是可交换的
• 给定半群$\langle S, \odot \rangle$及$G \subseteq S$，$G$为生成集$:=(\forall a)(s \in S \rightarrow a = \odot (G)) \land min_{G \subseteq S}\vert G \vert$，这里$\odot G$表示用$G$中的元素经$\odot$的复合而生成的元素，类似定义独异点$\langle M, \odot, e \rangle$的生成集
• 给定半群$\langle S, \odot \rangle$及非空集$T \subseteq S$，若$T$对$\odot$封闭，则称$\langle T, \odot \rangle$为$\langle S, \odot \rangle$的子半群，类似定义独异点$\langle M, \odot, e \rangle$的子独异点$\langle P, \odot, e \rangle$，应注意的是$e \in P$
• 给定半群$\langle S, \odot \rangle$及任意$a \in S$，则$\langle {a, a^2, a^3, \cdots}, \odot \rangle$是循环子半群
• 给定可交换独异点$\langle M,\odot, e \rangle$，若$P$为其等幂元集合，则$\langle P, \odot, e \rangle$为子独异点
• 设$\langle M, \odot, e \rangle$为独异点，则关于$\odot$的运算表中任两列或任两行均不相同

• 给定独异点$\langle M, \odot, e \rangle$，对任意$a, b \in M$且$a, b$有逆元

• $(a^{-1})^{-1}=a$

• $a \odot b$有逆元且$(a \odot b)^{-1} = b^{-1} \odot a^{-1}$

同态与同构

• 给定两个半群$\langle S, \odot \rangle$与$\langle T, \circledast \rangle$

$$ \langle S, \odot \rangle \simeq \langle T, \circledast \rangle:=(\exists f)(f \in T^S \land (\forall x)(\forall y)(x, y \in S \rightarrow f(x \odot y) = f(x) \circledast f(y)) $$

• 并称$f$为从$\langle S,\odot \rangle$到$\langle T, \circledast \rangle$的半群同态映射
• 如果$f$为从$\langle S, \odot \rangle$到$\langle T, \circledast \rangle$的半群同态映射，对任意$a \in S$且$a \odot a = a$，则$f(a) \odot f(a) = f(a)$
• 如果$g$是从$\langle S, \odot \rangle$到$\langle T, \star \rangle$的半群同态映射，$h$是从$\langle T, \star \rangle$到$\langle U, \circledast \rangle$的半群同态映射，则$h \circ g$是从$\langle S, \odot \rangle$到$\langle U, \circledast \rangle$的半群同态映射
• 若$g$是从$\langle S,\odot \rangle$到$\langle S, \odot \rangle$的半群同态映射，则称$g$为半群自同态映射
• 给定半群$\langle S, \odot \rangle$，如果$A = {g \mid g为\langle S, \odot \rangle到\langle S, \odot \rangle的半群自同态映射}$，且$\circ$是函数复合运算，则$\langle A, \circ \rangle$为半群
• 给定半群$\langle S, \odot \rangle$，若$B = {h \mid h为\langle S, \odot \rangle到\langle S,\odot \rangle的半群自同构映射}$，$\circ$为函数符号运算，则$\langle B, \circ, id_A \rangle$是独异点，$id_A$为恒等映射
• 给定半群$\langle S,\odot \rangle$，又$\langle S^S, \circ \rangle$是从$S$到$S$的所有函数在复合运算$\circ$的函数半群，则存在从$\langle S, \odot \rangle$到$\langle S^S, \circ \rangle$的半群同态映射$g$
• 给定独异点$\langle M, \odot, e_M \rangle$和$\langle T, \circledast, e_T \rangle$

$$ \langle M, \odot, e_M \rangle \simeq \langle T, \circledast, e_T \rangle := (\exists g)(g \in T^M \land (\forall x)(\forall y)(x, y \in M \rightarrow g(x \odot y) = g(x) \circledast g(y)) \land g(e_M) = e_T) $$

• 并称$g$为从$\langle M, \odot, e_M \rangle$到$\langle T, \circledast, e_T \rangle$的独异点同态映射
• 给定独异点$\langle M, \odot \rangle$，则存在$T \subseteq M^M$，使$\langle M, \odot \rangle \simeq \langle T, \circ \rangle$

群

• 给定$\langle G, \odot \rangle$，若$\langle G, \odot \rangle$是独异点且每个元素存在逆元，则称$\langle G, \odot \rangle$是群
• 给定群$\langle G, \odot \rangle$，若$G$是有限集，则称$\langle G, \odot \rangle$是有限群，并且把$G$的基数称为该有限群的阶数，若集合$G$是无穷的，则称$\langle G, \odot \rangle$为无穷群，若$\vert G \vert = 1$，则称$\langle G, \odot \rangle$为平凡群
• $\langle G, \odot \rangle$是群$\land \vert G \vert > 1 \Rightarrow \langle G, \odot \rangle$无零元
• $\langle G, \odot \rangle$是群$\Rightarrow \langle G, \odot \rangle$中的唯一等幂元的幺元
• 给定群$\langle G, \odot \rangle$

$$ (\forall a)(\forall b)(\forall c)(a, b, c \in G \land ((a \odot b = a \odot c \lor b \odot a = c \odot a) \rightarrow b=c)) $$

• 即群满足可约律
• 给定群$\langle G, \odot \rangle$

$$ (\forall a)(\forall b)(a, b \in G \rightarrow (\exists !x)(x \in G \land a \odot x = b) \lor (\exists !y)(y \in G \land y \odot a = b)) $$

• 或

$$ (\forall a)(\forall b)(a, b \in G \rightarrow (\exists !x)(\exists y)(x, y \in G) \land (a \odot x = b \lor y \odot a = b)) $$

• 即群中方程解是唯一的
• 设$\langle G, \odot \rangle$为群，$a \in G, n \in Z$，则$a$的$n$次幂为

$$ a^n = \begin{cases} e, & n=0 \cr a^{n-1}, & n > 0 \cr (a^{-1})^m, & n \langle 0, n = -m, m \rangle 0 \end{cases} $$

• 设$\langle G, \odot \rangle$为群

• $\forall a \in G, (a^{-1})^{-1}=a$

• $\forall a, b \in G, (a \odot b)^{-1} = b^{-1} \odot a^{-1}$
• $\forall a \in G, m, n \in Z$，有$a^m \odot a^n = a^{m+n}$
• $\forall a \in G, m, n \in Z$，有$(a^m)^n=a^{mn}$

• 若$\langle G, \odot \rangle$为$Abel$群，则$(a \odot b)^n = a^n \odot b^n$

• 给定群$\langle G, \odot \rangle$，若$\odot$是可交换的，则称$\langle G, \odot \rangle$是$Abel$群

• 给定群$\langle G, \odot \rangle$，且$a \in G$，幺元$e \in G$，则$a$的阶或周期为$n := (\exists k)(k \in Z_+ \land min_k{a^k=e}=n)$，并称$a$的阶是有限的，并记作$\vert a \vert = n$，否则$a$的阶为无穷
• 给定群$\langle G, \odot \rangle, a \in G$，且$\vert a \vert = k, p$为整数，则$a^p = e \Leftrightarrow k \vert p$
• 如果$a^n=e$且没有$n$ 的因子$d(1 \langle d < n)$使$a^d=e$，则$n$为$a$的阶
• 给定群$<G, \odot \rangle$及$a \in G$，则$a$与$a^{-1}$具有相同的阶

置换群与循环群

• 令$X$是非空有穷集合，从$X$到$X$的双射$p$，称为集合$X$中的置换，并称$\vert X \vert$为置换$p$的阶
• 若$X = {x_1, x_2, \cdots, x_n}$，则$n$阶置换$p$表示为

$$ p=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \cr p(x_1) & p(x_2) & \cdots & p(x_n) \end{bmatrix} $$

• 并称

$$ \begin{bmatrix} p(x_1) & p(x_2) & \cdots & p(x_n) \cr x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix} $$

• 为$p$的反置换，记为$p^{-1}$，特别把置换

$$ \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \cr x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix} $$

• 称为$X$中的幺置换或恒等置换，记为$p_e$
• 此外，用$P_X$表示集合$X$中的所有置换的集合
• 若$X={x_1, x_2, \cdots, x_n}$，则$\vert P_X \vert = n!$
• 给定集合$X$且$p_i, p_j \in P_X$，由$X$的元素先进行置换$p_i$后再做置换$p_j$所得到的置换 ，表示为$p_i \diamond p_j$，称$p_i \diamond p_j$是置换$p_i$和$p_j$的复合，$\diamond$是复合置换运算

• 置换的性质：

• $(\forall p_1)(\forall p_2)(p_1, p_2 \in P_X \rightarrow p_1 \diamond p_2 \in P_X \land p_2 \diamond p_1 \in P_X)$

• $o(\forall p_1)(\forall p_2)(\forall p_3)(p_1, p_2, p_3 \in P_X \rightarrow (p_1 \diamond p_2) \diamond p_3 = p_1 \diamond (p_2 \diamond p_3))$
• $(\exists p_e)(p_e \in P_X \land (\forall p)(p \in P_X \rightarrow p_e \diamond p = p \diamond p_e = p))$

• $(\forall p)(p \in P_X \rightarrow (\exists p^{-1})(p^{-1} \in P_X \land p \diamond p^{-1} = p^{-1} \diamond p = p_e))$

• $\langle P_X, \diamond \rangle$是一个群，并称它为对称群，习惯上记为$\langle S_{\vert X \vert}, \diamond \rangle$，若$Q \subseteq P_X = S_{\vert X \vert}$，则称由$Q$和 $\diamond$构成的群$\langle Q,\diamond \rangle$为置换群

• 令$\langle Q, \diamond \rangle$是一置换群且$Q \subseteq S_{\vert X \vert}$，称$R = {\langle a, b \rangle \mid a, b \in X \land p \in Q \land p(a)=b}$为由$\langle Q, \diamond \rangle$所诱导的$X$上的二元关系
• 由$\langle Q, \diamond \rangle$诱导的$X$上的二元关系是一等价关系
• 在有限群$\langle G, \odot \rangle$中，每行或每列都是$G$中元素的置换
• 设$p$是集合$X = {x_1, x_2, \cdots, x_n }$上的$n$阶置换，若$p(x_1)=x_2, p(x_2)=x_3, \cdots, p(x_{k-1})=x_k, p(x_k)=x_1$，并且$X$中其余元素保持不变，则称$p$为$X$上的$k$阶轮换，记为$(x_1 x_2 \cdots x_k)$，若$k=2$时，称$p$为$X$上的对换
• 设$X$上两个轮换$p_i$和$p_j$，若它们没有公共元，则称$p_i$与$p_j$不相交
• 每个置换均可表示成不相交轮换的复合，并且在不计复合次序的情况下，其表示是唯一的
• 任何置换都可以表示成对换的复合，但表示不唯一
• 设$\langle G, \odot \rangle$是群，若$\exists g \in G$，对$\forall x \in G, \exists k \in Z$，有$x=g^k$，称$\langle G, \odot \rangle$是循环群，记作$G=\langle g \rangle$，称$g$是群$\langle G, \odot \rangle$的生成元

• 设$\langle G, \odot \rangle$是以$g$为生成元的循环群

• 若$\langle G, \odot \rangle$是无限循环群，则群$\langle G, \odot \rangle$只有两个生成元，即$g$和$g^{-1}$

• 若$\langle G, \odot \rangle$是$n$阶循环群，则群$\langle G, \odot \rangle$含有$\phi(n)$个生成元，对于任何小于等于$n$且与$n$互素的正整数$p$，$g^p$是生产元，其中$\phi(n)$是欧拉函数（小于等于$n$与$n$互速度正整数数量）

子群与陪集

• 给定群$\langle G, \odot \rangle$及非空集合$H \subseteq G$，若$\langle H, \odot \rangle$是群，则称$\langle H, \odot \rangle$是群$\langle G, \odot \rangle$的子群，$\langle {e}, \odot \rangle, \langle G, \odot \rangle$为平凡子群，其余子群称为真子群
• $\langle H, \odot \rangle$是群$\langle G, \odot \rangle$的子群$\Rightarrow e_H=e_G$，其中$e_H$和$e_G$分别是$\langle H, \odot \rangle$和$\langle G, \odot \rangle$的幺元，即群与其子群具有相同幺元
• 给定群$\langle G, \odot \rangle$及非空$H \subseteq G$，$\langle H, \odot \rangle$是$\langle G, \odot \rangle$的子群$\Leftrightarrow (\forall a)(\forall b)(a, b \in H \rightarrow a \odot b \in H) \land (\forall a)(a \in H \rightarrow a^{-1} \in H)$
• 给定群$\langle G, \odot \rangle$及非空$H \subseteq G$，$\langle H, \odot \rangle$是$\langle G, \odot \rangle$的子群$(\forall a)(\forall b)(a, b \in H \rightarrow a \odot b^{-1} \in H)$
• 给定群$\langle G, \odot \rangle$及非空有限集$H \subseteq G$，$\langle H, \odot \rangle$是$\langle G, \odot \rangle$的子群$\Leftrightarrow (\forall a)(\forall b)(a, b \in H \rightarrow a \odot b \in H)$
• 群$\langle G, \odot \rangle$的中心为一集合，记作$cent(G):={a \mid a \in G \land (\forall x)(x \in G \rightarrow a \odot x = x \odot a)}$
• 若$\langle G_1, \odot \rangle$和$\langle G_2, \odot \rangle$都是群$\langle G, \odot \rangle$的子群，则$\langle G_1 \cap G_2, \odot \rangle$也是群$\langle G, \odot \rangle$的子群
• 循环群$\langle G, \odot \rangle$的任何子群都是循环群
• 令$\langle H, \odot \rangle$是群$\langle G, \odot \rangle$的子群且$a \in G$，则把集合$a \odot H = {a \odot h \mid h \in H}$称为由元素$a$所确定的群$\langle G, \odot \rangle$中的$H$的左陪集，称$a$是左陪集$aH$的代表元素，类似定义右陪集$Ha$
• 给定群$\langle G, \odot \rangle$子群$\langle H, \odot \rangle$的左陪集关系，记作$C_{H_l}:={\langle a, b \rangle \mid a, b \in G \land b^{-1} \odot a \in H}$
• 若$\langle H, \odot \rangle$是群$\langle G, \odot \rangle$的子群，则$aH=H \Leftrightarrow a \in H$
• 若$\langle H, \odot \rangle$是群$\langle G,\odot \rangle$的子群，则$aH=bH \Leftrightarrow b^{-1} \odot a \in H$
• 左陪集$aH$中的任何元素$a_1$均可决定该陪集
• 若$\langle H, \odot \rangle$是群$\langle G, \odot \rangle$的子群，则或者$aH \cap bH = \emptyset$或者$aH=bH$
• 若$\langle H, \odot \rangle$的有限群$\langle G,\odot \rangle$的子群，$\vert G \vert = n, \vert H \vert = m$，则$n=mk, k \in Z_+$
• 设群$\langle H, \odot \rangle$是群$\langle G, \odot \rangle$的子群，若对于$G$中任意元$a$，有$aH=Ha$，则称$\langle H, \odot \rangle$是群$\langle G, \odot \rangle$的正规子群
• 给定群$\langle G, \odot \rangle$的子群$\langle H, \odot \rangle$，它是群$\langle G, \odot \rangle$的正规子群$\Leftrightarrow (\forall a)(a \in G \rightarrow aHa^{-1} \subseteq H)$
• 群$\langle G, \odot \rangle$的正规子群$\langle H, \odot \rangle$所确定的左（或右）陪集关系$C_{H_l}$（或$C_{H_r}$）是同余关系

同态与同构

• 给定群$\langle G, \odot \rangle$和群$\langle H, \circledast \rangle$，则$\langle G, \odot \rangle \simeq \langle H, \circledast \rangle:=(\exists g)(g \in H^G \land (\forall a)(\forall b)(a, b \in G \rightarrow g(a \odot b)=g(a) \circledast g(b)))$，并称$g$是从群$\langle G, \odot \rangle$到群$\langle H, \circledast \rangle$的群同态映射

• 设$g$为从群$\langle G, \odot \rangle$到群$\langle H, \circledast \rangle$的群同态映射

• 若$e_G$和$e_H$分别为两群的幺元，那么$g(e_G)=e_H$

• 若$a \in G$，那么$g(a^{-1})=(g(a))^{-1}$

• 若$\langle S, \odot \rangle$是群$\langle G, \odot \rangle$的子群且$g(S)={g(a) \mid a \in S}$，那么$\langle g(S), \circledast \rangle$为群$\langle H, \circledast \rangle$的子群

• 给定群$\langle G, \odot \rangle$和代数系统$\langle H, \circledast \rangle$，若$g$是从群$\langle G, \odot \rangle$到$\langle H, \circledast \rangle$的满同态映射，则$\langle H, \circledast \rangle$是群

• 设$f$是从群$\langle G, \odot \rangle$到群$\langle H, \circledast \rangle$的群同态映射，$e_H$为$\langle H, \circledast \rangle$的幺元，记$K_f={k \mid f(k)=e_H \land k \in G}$，称$K_f$为群同态映射$f$的核
• 若$f$是从$\langle G, \odot \rangle$到$\langle H, \circledast \rangle$的群同态映射，则$\langle K_f, \odot \rangle$是群$\langle G, \odot \rangle$的正规子群
• 若$f$是从$\langle G, \odot \rangle$到$\langle H, \circledast \rangle$的群同态映射，则$f$是一对一的$\Leftrightarrow K_f={e_G}$
• 若$f$是从$\langle G, \odot \rangle$到$\langle H, \circledast \rangle$的群同态映射,$C_{f_l}$为同态$f$的核$K_f$所确定的陪集关系，则$aC_{f_l}b \Leftrightarrow f(a)=f(b), a, b \in G$