常用Fourier变换速查
发布于 2025年11月04日 12:27
Fourier变换性质
对偶性 (Duality)：如果 $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$，那么 $\mathcal{F}[F(t)] = 2\pi f(-\omega)$。
线性性 (Linearity)：$\mathcal{F}[af_1(t) + bf_2(t)] = aF_1(\omega) + bF_2(\omega)$。
时移性 (Time Shifting)：$\mathcal{F}[f(t - t_0)] = F(\omega) e^{-j\omega t_0}$。
频移性 (Frequency Shifting)：$\mathcal{F}[f(t) e^{j\omega_0 t}] = F(\omega - \omega_0)$。
微分性 (Differentiation)：$\mathcal{F}[\frac{d}{dt} f(t)] = j\omega F(\omega)$。
卷积定理 (Convolution Theorem)： $$ \mathcal{F}[f_1(t) * f_2(t)] = F_1(\omega) \cdot F_2(\omega) $$
$$ \mathcal{F}[f_1(t) \cdot f_2(t)] = \frac{1}{2\pi}F_1(\omega) * F_2(\omega) $$
$$ \mathcal{F^{-1}}[F_1(\omega) * F_2(\omega)] = 2\pi f_1(t) \cdot f_2(t) $$
$$ \mathcal{F^{-1}}[F_1(\omega) \cdot F_2(\omega)] = f_1(t) * f_2(t) $$
| $f(t)$ | $ \mathcal{F}[f(t)]$ | 备注 |
|---|---|---|
| $\delta(t)$ | $1$ | 狄拉克$\delta$函数 |
| $\delta(t-t_0)$ | $e^{-j\omega t}$ | |
| $1$ | $2\pi \delta(\omega)$ | |
| $e^{j\omega_0 t}$ | $2\pi \delta(\omega-\omega_0)$ | |
| $cos(\omega_0t)$ | $\pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)]$ | |
| $sin(\omega_0t)$ | $j\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]$ | |
| $e^{-a\vert t \vert}, a>0$ | $\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ | |
| $e^{-at} \cdot H(t), a>0$ | $\frac{1}{a+j\omega}$ | |
| $H(t)=\begin{cases}1, & t\ge0 \cr0, & t< 0\end{cases}$ | $\pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}$ | $Heaviside$函数(单位越阶函数) |
| $rect(\frac{t}{T})=\begin{cases}1, & \vert t \vert\le \dfrac{T}{2} \cr0, & \vert t \vert> \dfrac{T}{2}\end{cases}$ | $Tsinc(\frac{\omega T}{2})$ | 矩形脉冲 |
| $sinc(t) = \frac{sin\pi t}{\pi t}$ | $rect(\frac{\omega}{2\pi})$ | |
| $Ae^{-at^2}, a>0$ | $\sqrt{\frac{\pi}{a}}Ae^{-\frac{\omega^2}{4a}}$ | 高斯函数 |
| $te^{-a\vert t \vert}, a>0$ | $\frac{2ja\omega}{(a^2+\omega^2)^2}$ | |
| $\frac{1}{t^2+a^2}$ | $\frac{\pi}{a}e^{-a\vert \omega \vert}$ | |
| $sgn(x)=\begin{cases}1, & x>0 \cr 0, & x=0 \cr -1, & x<0 \end{cases}$ | $\frac{2}{j\omega}$ | 符号函数 |